লম্ব উপাংশে ভেক্টরের বিভাজন

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - পদার্থবিদ্যা - পদার্থবিজ্ঞান – ১ম পত্র | NCTB BOOK

4.2k

Summary

ভেক্টর রাশির বিভাজন: একটি ভেক্টর রাশিকে দুটি বা ততোধিক ভেক্টর রাশিতে বিভক্ত করার প্রক্রিয়াকে ভেক্টর রাশির বিভাজন বলে। বিভক্ত ভেক্টর রাশির প্রত্যেকটি অংশককে উপাংশ বলা হয়।

দুটি উপাংশে বিভাজন: একটি ভেক্টর R, তীর চিহ্নিত OB দ্বারা নির্দেশিত। OB-এর সাথে দুই পাশে কোণ α ও β তৈরি করে OA এবং OC রেখাগুলি টানা হয়। OB-কে কর্ণ করে OABC সামান্তরিক অঙ্কন করা হয়। OC এবং AB সমান্তরাল, তাই ত্রিকোণমিতির গুণনীয়কগুলি ব্যবহার করে বিভিন্ন গাণিতিক সম্পর্ক তৈরি হয়।

প্রথম উপাংশ OA এর মান P এবং OC এর মান Q হিসাবে পরিচিত।
লম্ব উপাংশ বিভাজন করলে, P এবং Q পরস্পর সমকোণী হয়, যেখানে (α + β) = 90°।

একক ভেক্টর রাশির সাহায্যে প্রকাশ: একটি ভেক্টর রাশির প্রকাশ করতে দ্বিমাত্রিক ও ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে সমকোণী অক্ষগুলির সাহায্যে কাজ করতে হয়।

দ্বিমাত্রিক ভেক্টর: উল্লিখিত OX ও OY সরলরেখার মধ্যে OP রেখাটি একটি ভেক্টর রাশি রূপে বিবেচিত হয়।
ত্রিমাত্রিক ভেক্টর: তিনটি অক্ষ OX, OY, OZ এর সংযোগে একটি ভেক্টর রাশি লেখা যায়।

একটি ভেক্টর রাশিকে সামান্তরিক সূত্রের দ্বারা বহুভাবে দুটি ভেক্টর রাশিতে বিভক্ত করা যায়। এই পদ্ধতির নাম ভেক্টর রাশির বিভাজন। সুতরাং একটি ভেক্টর রাশিকে দুই বা ততোধিক ভেক্টর রাশিতে বিভক্ত করার প্রক্রিয়াকে ভেক্টর রাশির বিভাজন বা বিশ্লেষণ বলে। এই বিভক্ত ভেক্টর রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে মূল ভেক্টর রাশির এক একটি অংশক বা উপাংশ (Component) বলে।

(i) যে কোন দুই উপাংশে বিভাজন :

মনে করি R একটি ভেক্টর রাশি। তীর চিহ্নিত OB সরলরেখাটি তার মান ও দিক নির্দেশ করছে [চিত্র ১.২২]। OB-এর সাথে দুই পাশে $α$ ও $β$ কোণ উৎপন্ন করে এরূপ দুটি দিকে একে দুটি উপাংশে বিভক্ত করতে হবে।

এখন O বিন্দু হতে OB-এর সাথে দুই পাশে $α$ এবং $β$ কোণ করে OA এবং OC রেখা দুটি টানি। OB-কে কর্ণ করে OABC সামান্তরিকটি অঙ্কন করি।

সুতরাং সামান্তরিকের সূত্রানুযায়ী OB দ্বারা সূচিত ভেক্টর রাশি $\vec{R}$ -এর দুটি অংশকের বা উপাংশের মান ও দিক $\vec{OA}$ এবং $\vec{OC}$ নির্দেশ করবে।

বর্ণনানুসারে OC এবং AB সমান্তরাল এবং OB তাদেরকে যুক্ত করেছে। কাজেই β

এখন ত্রিকোণমিতি ও ত্রিভুজের ধর্মানুসারে $∆$ OAB হতে আমরা পাই,

$\frac{O A}{s i n β} = \frac{A B}{s i n α} = \frac{O B}{s i n < O A B}$

আবার AB = OC এবং (α+β)

$\frac{O A}{s i n β} = \frac{A B}{s i n α} = \frac{O B}{s i n [180 ° - (α + β)]}$

$\vec{OA}$ এবং $\vec{OC}$ দ্বারা সূচিত উপাংশ দুটির মান যথাক্রমে P এবং Q-এর সমান ধরে আমরা পাই,

$\frac{P}{s i n β} = \frac{Q}{s i n α} = \frac{R}{s i n [180 ° - (α + β)]} = \frac{R}{s i n (α + β)}$

$P = \frac{R s i n β}{s i n (α + β)}$

$Q = \frac{R s i n α}{s i n (α + β)}$

সমীকরণ (13) ও (14) R ভেক্টরের উপাংশের সমীকরণ।

(ii) লম্ব উপাংশে বিভাজন :

যদি R ভেক্টরকে সমকোণে বিভাজিত করা হয় অর্থাৎ, P এবং Q উপাংশ দুটি পরস্পর সমকোণী হয় [চিত্র ১.২৩], তবে $(α + β)$ = 90°

$\sin (α + β) = \sin (90 °) = 1 \sin β = \sin (90 ° - α) = \cos (α) \frac{P}{\cos (α)} = \frac{Q}{\sin (α)} = R P = R c o s α Q = R s i n α$

P এবং Q উপাংশ দুটিকে মূল ভেক্টর রাশি R-এর নম্বাংশ বলে। P-কে অনুভূমিক উপাংশ (Horizontal components) এবং Q-কে উলম্ব উপাংশ (Tangential components) বলে।

১.৯ একটি ভেক্টর রাশিকে একক ভেক্টর রাশির সাহায্যে প্রকাশ

একটি ভেক্টর রাশিকে একক ভেক্টর রাশির সাহায্যে প্রকাশ করতে গিয়ে আমরা দুটি বিষয় বিবেচনা করব। একটি দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্র ও অপরটি ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র। নিম্নে বিষয় দুটি পৃথকভাবে আলোচিত হল।

(ক) দ্বিমাত্রিক ভেক্টর রাশির ক্ষেত্রে :

ধরা যাক পরস্পর সমকোণে অবস্থিত OX ও OY সরলরেখা দুটি যথাক্রমে X ও Y অক্ষ নির্দেশ করছে [ চিত্র ১.২৪ ]। XY সমতলে X অক্ষের সাথে $θ$ কোণে অবস্থিত OP রেখাটি দ্বারা r মানের একটি ভেক্টর রাশি $\vec{r}$ -এর মান ও দিক নির্দিষ্ট হয়েছে। আরও ধরা যাক P-এর স্থানাঙ্ক (x, y) এবং ধনাত্মক X ও Y অক্ষে একক ভেক্টর রাশি যথাক্রমে $\hat{i}$ ও $\hat{j}$ ।

P হতে X অক্ষের উপর PN লম্ব টানি ।

তা হলে চিত্র অনুসারে ON = x, NP = y এবং OP =r.

$\vec{O N} = x \hat{i}, \vec{N P} = y \hat{j}, \vec{O P} = \vec{r}$

এখন, ত্রিভুজ সূত্র অনুসারে,

$\vec{O P} = \vec{O N} + \vec{N P} \vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}$

ভেক্টরের মান

চিত্র ১:২৪ হতে আমরা পাই,

$O P^{2} = O N^{2} + N P^{2} r^{2} = x^{2} + y^{2} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$\vec{r}$ বা $\vec{r}$ -এর সমান্তরাল একক ভেক্টর :

$\vec{r}$ বরাবর বা $\vec{r}$ -এর সমাস্তরাল একক ভেক্টর,

$\hat{r} = \frac{\vec{r}}{r} = \frac{x \hat{i} + y \hat{j}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

(খ)ত্রিমাত্রিক ভেক্টর রাশির ক্ষেত্রে : ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের বেলায় অনুরূপভাবে লেখা যায়,

$\hat{i}$ = = $\hat{i}$ x + $\hat{i}$ y + $\hat{k}$ z. এখানে P-এর অবস্থানাঙ্ক (x, y, z) |

প্রমাণ : ধরা যাক, পরস্পর সমকোণে অবস্থিত OX, OY ও OZ সরলরেখা তিনটি যথাক্রমে X, Y ও z অক্ষ নির্দেশ করছে | চিত্র ১২৫ ।। OP রেখাটি এই অক্ষ ব্যবস্থায় মানের একটি ভেক্টর রাশি নির্দেশ করছে। আরও মনে করি P-এর স্থানাঙ্ক (x,y,z) এবং ধনাত্মক X, Y ও Z অক্ষে একক ভেক্টর রাশি যথাক্রমে $\hat{i,} \hat{j}, \hat{k}$ | PN রেখাটি হল XY সমতলের উপর এবং NQ রেখাটি হল OX-এর উপর লম্ব।

তা হলে $\vec{O P}$ = $\vec{O N}$ + $\vec{N P}$

$\vec{O N}$ = $\vec{O Q}$ + $\vec{O N}$

$\vec{O P}$ = $\vec{O Q}$ + $\vec{O N}$ + $\vec{N P}$